PROBABILIDAD

Probabilidad

Probabilidad es una palabra que permite resaltar la característica de probable (es decir, de que algo pueda ocurrir o resultar verosímil). Se encarga de evaluar y permitir la medición de la frecuencia con la que es posible obtener un cierto resultado en el marco de un procedimiento de carácter aleatorio. La probabilidad, por lo tanto, puede definirse como la razón entre la cantidad de casos prósperos y la cantidad de cuestiones posibles. La matemática, la física y la estadística son algunas de las áreas que permiten arribar a conclusiones respecto a la probabilidad de eventos potenciales.

Actividades de la carpeta:

1) Un alumno terminó de imprimir su trabajo de Historia y antes de numerar las nueve hojas se le cayeron y desparramaron. Si las recoge al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se queden en el orden correcto?

2) Una persona puso una contraseña en un archivo de su computadora y solo recuerda que eran cuatro dígitos diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en el primer intento?

3) Con las letras de la palabra ESPACIO se forman todas las palabras de cuatro letras distintas, considerando también las que no tengan significado. Si se elige una palabra al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga únicamente vocales?

4) En un edificio de cinco pisos, hay tres departamentos por piso y se quiere formar una comisión de tres propietarios. Si se decide elegir al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres elegidos sean de planta baja?

b) ¿Y que sean del mismo piso?

5) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar tres naipes de un mazo de 40 cartas españolas, sean todos de espada?

6) En una escuela, el 40% de los chicos va caminando, el 35% en ómnibus y el resto, en auto con sus padres. Al elegir un alumno al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue en auto?

b) ¿Y en auto o en ómnibus?

7) Se tira un dado equilibrado cinco veces: ¿Cuál es la probabilidad de sacar 6 en todos los tiros? 

8) En un curso de 20 chicos, la mitad estudia inglés. 6 estudian francés y 2 estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta ser estudiante de francés. ¿Cuál es la probabilidad de que también estudie inglés?

9) Si se elige a dos alumnos al azar de un curso de 20 chicos, de los cuáles el 60% son mujeres: 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos varones?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un varón?

10) Un examen consta de 10 preguntas que deben ser contestadas con Verdadero o Falso. Si un alumno contesta todas las preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que responda todas correctamente? 

11) Un aeropuerto tiene tres equipos de radar, que funcionan de manera independiente. Cada equipo tiene una probabilidad del 98% de detectar un avión que vuele sobre el área.

a) Si un avión entra en el área vigilada, ¿cuál es la probabilidad de que no sea detectado?

b) ¿Y de que lo detecten los tres radares?

12) Según un censo realizado para estudiar las condiciones educacionales, se comprobó que el 36% de la población tiene menos de 18 años: de estos el 15% no ha completado los estudios primarios. Si se selecciona una persona de esa población al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 18 años y no haya terminado sus estudios primarios?

Resoluciones:

1)

123                                3 . 2 . 1 = 6

132

213      1/6                     9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880

231

312                                1/362.880 > 1 probabilidad de 362.880 de que las hojas estén ordenadas.          321                                                     

2) 

1ro  2do  3ro  4to    = 1/5040 > 1 probabilidad de 5040 de que acierte en el primer intento.

10     9      8     7

3)

E S P A C I O = 4 vocales = 16 posibilidades de palabras con vocales solamente. (4 . 4 = 16)

a e i o

a e o i

a o i e         6 . 4 = 24                    7 . 6 . 5 . 4= 840

a o e i

a i o e

a i e o                      24/840 = 24 posibilidades de 840 de que la palabra solo tenga vocales.

4) 

5 pisos de 3 departamentos por piso

5 . 3 = 15

15 . 14 . 13 = 2730/6 > posibilidades repetidas: abc; acb; bca; bac; cab; cba

1/455 > 1 posibilidad de 455 que sean de planta baja.

5) 

3 naipes de un mazo de 40 cartas españolas, sean de espada

10 cartas de cada palo

  1ra      2da    3ra

10/40 . 9/39 . 8/38  = 720/59.280 > 720 posibilidades de 59.280 de que las cartas sean de espada.

                 

                                   

6) 

Escuela: 40% caminando, 35% ómnibus, 25% auto.

1/25 = 1 probabilidad de 25 de que vaya en auto.

1/60 (35% + 25%) = 1 probabilidad de 60 de que vaya en auto o en ómnibus.

7)

Dado equilibrado: 5 tiros

1er  2do  3er  4to 5to  

 6  .   6  .  6  .  6  .  6   = 7.776 = 1/7.776 > 1 probabilidad de 7.776 de que salga el 6 en todos los tiros.

8) 

20 chicos: 10 inglés, 6 francés, 2 ambos idiomas

2/6 > 2 posibilidades de 6 de que hable los dos idiomas.

9) 

20 chicos: 60% mujeres (12) y 40% varones (8)

Sacar 1 varón del curso = 8/20               Sacar 2 varones del curso = 7/19

12/2 . 8/19 = 96/380 > probabilidad de sacar al menos 1 mujer y 1 varón.

8/20 . 7/19 = 56/380 > probabilidad de sacar 2 varones. 

96/380 + 56/380 = 152/380 > probabilidad de sacar al menos 1 varón.

10) 

1 exámen = 10 preguntas

1    2

v    v

v    f       1/4

f     v      2 . 2 = 2 preguntas

f     f

1    2    3 

v    v    f

v    f     v

v    f     f

v    v    v      1/8                                                10 = 2 elevado a la 10 = 1.024

f     v    f      2 . 2 . 2 = 3 preguntas      

f     f     v

f     f     f                                             1/1.024 > 1 probabilidad de 1.024 de que sus rtas sean correctas.

f     v    v

11)

3 equipos de radar: c/u tiene un 98% de eficacia.

0,98 . 0,98 . 0,98 = 0,94 > probabilidad de que lo detecten los 3.

0,02 . 0.02 . 0,02 = 0,0000008 > probabilidad de que no lo detecten.

12) 

36% de la población: menos de 18 años

15% no completa sus estudios primarios

36 . 15 : 100 = 5, 4 > probabilidad de sacar un chico menor y sin estudios primarios.

Algo más de probabilidad..

1) Se arrojan dos dados. Calculen las probabilidades de que ocurren los siguientes sucesos.

a) De obtener dos números pares.
b) De que la suma sea par.
c) De que la suma sea impar o los dos números obtenidos sean mayores que 3. 

d) De que la suma sea mayor que 4 y los dos números sean iguales.

2) En una bolsa se introducen 15 bolsitas numeradas del 1 al 15 y se saca una al azar. Calculen las siguientes probabilidades:
a) De que tenga un número par o mayor que 6.
b) De que tenga un número primo o múltiplo de 3.
c) De que tenga un número impar y múltiplo de 3.

3) Se lanzan 4 monedas al aire simultáneamente. Calculen las probabilidades de estos sucesos.
a) Que salga alguna seca.
b) Que salgan dos o más caras.
c) Que salgan 4 caras.

4) De un mazo de cartas de truco, se extrae una carta sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de oro o que sea un siete?

5) En una caja se colocan tarjetas numeradas del 1 al 12, y se extrae una al azar. Calculen las siguientes probabilidades:
a) Que salga par.
b) Que salga un número menor que 5.
c) Que salga par y menor que 5.

d) Que salga par o menor que 5.

6) En una escuela secundaria hay 300 alumnos según la siguiente tabla:
Supongan que se elige un alumno cualquiera al azar y calculen las probabilidades.
a) De que sea del turno mañana. P(Ma)
b) De que sea varón. P(V)
c) De que sea del turno tarde. P(T)
d) De que sea mujer. P(Mu)
e) P(V/Ma)
f) P(Mu/Ma)
g) P(T/V)
h) P(Ma/V)

Resoluciones:

1)

a) Se pueden conseguir 9 pares de pares = 9/36 > 9 posibilidades de 36 de que salgan dos nº pares.
b) Que la suma de ambos nº de como resultado un nº par es de 18/36. Estas se dan sumando dos números pares o dos número impares > 18 posibilidades de 36 de que la suma de los dígitos de como resultado un nº par.
c) Para que la suma sea impar o que los números obtenidos sean mayor que 3 van a tener que sumarse un par con un impar. Serían todos los números de la fila 4, 5 y 6. > La probabilidad es de 23/36 (18 pares = 9 más que 3, pero 4 nº que se repiten)

d) La probabilidad de que la suma sea más de 4 y que los números sean iguales es de 4/36 > 4 posibilidades de 36

2)
Par: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 = 7/15 > La probabilidad de sea un nº par es de 7 de 15.

Mayor que 6: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 = 9/15 > Las posibilidades de que salga un nº mayor que 6 son 9 de 15.

Nº primo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, = 6/15 > Las posibilidades de que sea un nº primo son 6 de 15.

Múltiplo de 3: 3, 6, 9, 12, 15 = 5/15 > Las posibilidades de que sea un nº múltiplo de 3 son 5 de 15.

3)16 resultados posibles = 2 elevado a la 4.
11/16 = probabilidad de que salgan 2 o más caras1/16 = probabilidad de que salgan 4 caras

4) 
40 cartas de un mazo de truco: que salga un oro o un 7.
10 cartas de oro > cuatro 7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12
7, 7, 7, 7
13/40 > Las posibilidades de que salga un un oro o un 7 son 13 de 40.

5) 
Tarjetas del 1 al 12.
a) Par: 2, 4, 6, 8, 10, 12 = 6/12 
b) Menor que 5: 1, 2, 3, 4 = 4/12
c) Par menor que 5: 2, 4 = 2/12
d) Par o menor que 5: 8/12

6)

a) P (Ma): 95V + 85M = 180 alumnos del turno mañana = 180/300 

b) P(V): 95M + 50T = 145 alumnos varones = 145/300

c) P(T): 50V + 70M = 120 alumnos del turno tarde = 120/300

d) P(Mu): 85Ma + 70T = 155 alumnas de ambos turnos = 155/300

e) P(V/Ma): 95V = 95/180

f) P(Mu/Ma): 85M = 85/180

g) P(T/V): 50V = 50/145

h) P(Ma/V): 95V = 95/145

TRIGONOMETRÍA

Trigonometría

La cronometraría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Las principales razones trigonométricas son tres: el seno (que consiste en calcular la razón existente entre el cateto opuesto y la hipotenusa), el coseno (otra razón pero, en este caso, entre el cateto adyacente y la hipotenusa) y la tangente (la razón entre ambos catetos: el opuesto sobre el adyacente).

Actividades de la carpeta:

1) Indica a que cuadrante pertenece cada uno de los siguientes ángulos: 

a1 = 300º    a2 = -200º    a3 = 760º    a4 = 160º

2) Las medidas de dos ángulos opuestos son números reales opuestos. El ángulo opuesto de a se escribe así: -a. Indica de que cuadrante es -a cuando a es: 

a) del I cuadrante

b) del II cuadrante

3) ¿Cuál es el ángulo positivo menor que un giro que tiene el mismo lado terminal que su opuesto?

4) Calcula la medida en radianes del ángulo que forman las agujas del reloj cuando son las 10 hs.

5)Expresa simbólicamente en grados y radianes:

a) el complemento de a.

b) el suplemento de a.

6) Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47º y el cateto opuesto 8cm. Halla la hipotenusa.

7) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26cm y un ángulo de 66º. Calcula los catetos.

8) En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8cm. Halla los ángulos agudos.

9) En un triángulo isóceles los ángulos iguales miden 78º y la altura 28cm. Halla el lado desigual.

10) La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11cm. ¿Cuál es la sombra del árbol?

11) Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?

12) Dos personas distantes entre sí 840m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de 60º y 47º, ¿a qué altura vuelva el avión?

13) El hilo de un barrilete mide 50m de largo y forma con la horizontal un ángulo de 37º. ¿A qué altura vuela el barrilete?

14) Utilizando el software Geogebra representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:

a) f(x) = sen x

b) g(x) = cos x

c) h(x) = tg x

15) La idea ahora es estudiar las funciones: 

f(x) = a sen x

f(x) = sen (bx)

d) Representa las funciones 

f(x) = sen x; g(x) = sen (2x) y h(x) = sen (1/2 x)

RESOLUCIONES

1) 

IV = 300º

II = -200º

I = 760º

III = -160º

2)

a del I = -a del IV

a del II = -a del III

3) Un giro = 360º (lado terminal = lado moral)

4)

5- a y b)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14) 

f(x) = sen x

dominio: R (reales)

imágen: [-1 ; 1]

período: 2pi

función: impar

f(x) = cos x

dominio: R

imágen:[-1 ; 1]

período: 2pi

función: par

f(x) = tan x

dominio: R - [pi/2, 3pi/2, 5pi/2..]

imágen: R

período: pi

función: impar

15)

f(x) = sen x: p = 2pi

f(x) = sen . 2x : p = pi                                                    período: 2pi/b

f(x) = sen . 1/2 x: p = 4pi 

FUNCIONES EXPONENCIALES

Funciones Exponenciales

Una función exponencial es una función que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente. Una función exponencial permite aludir a fenómenos que crecen cada vez con mayor rapidez.

Actividades de la carpeta:

1) Las bacterias son microorganismos unicelulares que se reproducen asexualmente mediante un proceso llamado fisión binaria o bipartición: cada bacteria se divide dando lugar a dos nuevas bacterias. En un se estudia la evolución de cierta bacteria y han determinado que bajo ciertas condiciones, la bipartición se produce una vez por minuto. Para iniciar el experimento consiguieron aislar una bacteria.

a) ¿Cuántas bacterias habrá 2 minutos después de iniciado el experimento? 

b) ¿Cuántas habrá dos minutos más tarde, es decir, 4 minutos después de iniciado el experimento?

c) ¿Podrá encontrarse una función que describa este fenómeno? ¿Cuál será su dominio?

d) ¿Cuántas bacterias tendrá el cultivo a los 15 minutos?

e) ¿Cuántas bacterias habrá dos horas después de iniciado el experimento?

f) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la cantidad de bacterias supere las 100.000?

a) 1 minuto = 2 bacterias ; 2 minutos = 4 bacterias ; 3 minutos = 8 bacterias ; y así sucesivamente.

b) 4 minutos = 16 bacterias

c) 

Tiempo     Bacterias

     0                 1 

     1                 2

     2                 4 = 2 . 2 

     3                 8 = 2 . 2 . 2

     4               16 = 2 . 2 . 2 . 2                                        x = 2 elevado a cualquier nº

     5               32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

     6               64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

     7             128 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 

Dominio matemático: todos los reales.

Dominio del problema: todos los reales positivos enteros.

El tiempo no puede ser negativo y las bacterias no se dividen en 1/2.

d) 15 minutos = 15 = 2 elevado a la 15 = 32.768 bacterias

f) 17 minutos = 17 = 2 elevado a la 19 = 131.072 bacterias

2) En un pueblo viven unas 30.000 personas. Como están aisladas en la montaña, no llega la señal satelital para los celulares. Entonces cuando el intendente necesita comunicar un mensaje y estar seguro de que le llegará a todos, recurre al efectivo y antiguo sistema del "boca a boca".

En una primera etapa del procedimiento le cuenta el mensaje a 5 ayudantes. Cada uno de ellos tiene instrucciones de ir a comunicar el mensaje exactamente a 4 personas (esta sería la segunda etapa del procedimiento) y, además indicar a esas 4 personas que lo comuniquen a otras 4 (tercera etapa) para que estas lo comuniquen a su vez a otras 4 (cuarta etapa) y así sucesivamente hasta que todos en el pueblo estén enterados. Suponemos que han diseñado un circuito para que cada uno cuente el mensaje a alguien que lo recibe por primera vez, es decir, no se desperdician recursos porque nadie recibe el mensaje en forma repetida.  

a) ¿Se podrá encontrar una fórmula que permita calcular cuántas personas se enteran del mensaje en cada etapa?

b) ¿En qué etapa la noticia habrá llegado a 20.000 personas?

c) Por enfermedad de dos de los ayudantes del intendente tuvieron que modificar el sistema y el cálculo ya que con la nueva situación el intendente comunica el mensaje a solo 3 ayudantes, aunque permanece la instrucción de que cada uno le transmita el mensaje a 4 personas. ¿Cómo se modifica la fórmula para esta nueva situación?

a) 

Etapa    Personas

   1              5

   2             20 = 5 . 4

   3             80 = 20 . 4 = 5 . 4 . 4                                   f(x) = 5 . 4 elevado a la x-1

   4            320 = 80 . 4 = 5 . 4 . 4 . 4

   5           1280 = 320 . 4 = 5 . 4 . 4 . 4 . 4 .

b)

c) Modificación de la fórmula: 

Etapa    Personas  

   1              3 

   2             12 = 3 . 4

   3             48 = 3 . 4 . 4                                                 f(x) = 3 . 4 elevado a la x-1

   4            192 = 3 . 4 . 4 . 4

   5            768 = 3 . 4 . 4 . 4 . 4 

3) El precio de un auto usado disminuye con el tiempo de manera que cada año cuesta el 15% menos de lo que costaba el año anterior. Consideremos un auto que cuesta hoy $50.000

a) ¿Cuánto costará dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?
b) ¿Cómo será la función cuya fórmula permita calcular el precio del auto en función del tiempo expresado en años? ¿Cuál será su dominio?
c) Si un comprador tiene ahorrados $27.000 ¿cuánto tiempo debería esperar para poder comprar ese auto?

a)
Cada año disminuye el 15% que el año anterior
El año que viene: 50.000 x 15 : 100 = 7.500 = 50.000 - 7.500 = $42.500
Dentro de dos años: 42.500 x 15 : 100 = 6.375 = 42.500 - 6375 = $36.125

b)
Tiempo    Precio
     0         50.000 = x 0,85 elevado a la 0
     1         42.500 = x 0,85 elevado a la 1                       f(x) = 50.000 x 0, 85 elevado a la x
     2         36.125 = x 0, 85 elevado a la 2
     3         30.706,25 = x 0,85 elevado a la 3

100% - 15% = 85% > Valor que se mantiene 

Dominio: todos los reales
Dominio del problema: nº positivos

c)

4) Consideren las funciones exponenciales f(x) = a elevado a la x y g(x) = b elevado a la x

a) Si la gráfica de f pasa por el punto (3;27), ¿cuánto vale f(-4)?
b) Si la gráfica de g pasa por el punto (-5;243), ¿cuál será el valor de g(2)?
c) ¿Qué valores en general puede tomar la base a de la función f?
d) Representen gráficamente las dos funciones. Saquen conclusiones

a)

b)

c)
x     f(x) = 3 elevado a la x
0        1
1        3
2        9
3        1/3

d)
Curvas hipérbolas: cuando aumentan los valores y aumentan los de x.
Creciente: base de la potencia
Mayor que 1: Decreciente

5) Las siguientes tablas corresponden a las funciones esponenciales f y g. 

FUNCIONES RACIONALES

Funciones Racionales

1)

Viajes (x)	Cajas (y)
1	72
2	36
3	24
4	18
6	12
8	9
9	8
12	6
18	4
24	3
36	2
72	1

Fórmula:

X . Y = 72

      Y = 72/X

2) Fórmula de la función:

Y = 1/x

3) Función:

30 x 10 = 500 > total                Y = 300/12 = 25

FUNCIONES POLINÓMICAS

Funciones Polinómicas

• El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
• Son siempre continuas.
• No tienen asíntotas.
• Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
• Cortan el eje Y en el punto (0, a₀).
• El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
• El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

1 y 2) Gráfico y comparación de funciones

3) Gráficas de funciones

4) Función

f(x) – 10000 x⁴ – x²

10000 . 3⁴ – (-1)²

10000 . 81 – 1 = 809999

Siempre van a ser pares porque todo n° elevado a 2 es positivo. 

5) Situación problemática

F(t) = 0,5 t

6) Problema de función

F(t) = 0,5t³ – 5,7t² = 11 segundos.       0,5 . 1332 – 5,7 . 121 + 25 . 11 = 33

a) f(t = 0,5 . 2⁸ – 5,7 . 2² = 24 > en dos segundos

b) f(t) = 0,5 . (2,1³) – 5,7- (2,1²) + 25 . 2,1 = 24,05 > puede avanzar más en la misma dirección

c) f(t) = 0,5 . 6³ – 5,7 . 6² + 25 . 6 = -12 en 6 segundos

d) Volverá a pasar por el punto de partida en los puntos 6 y 10

e) Se encontrará en el lado izquierdo en el punto 6

7) Función polinómica

g(x) = x³ – 3x² – 28x + 60 > valores negativos del 2 al 6

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función Cuadrática

Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c

        

Dominio: Conjunto de valores de x que tenga la función.

Imagen: Valores de Y que toma la función.

Vértice de la parábola   v: (xv ; yv)     Xv: -b/2.a     Xy: se reemplaza la x

Termino despejado indica donde corta en el eje Y. (independiente, cuando x es 0)

Radicando: ∆ (delta) = b² – 4 . ac > discriminante

Mayor que 0: 2 raíces distintas y reales

Igual que 0: 2 raíces reales y coincidentes

Menor que 0: no hay raíces reales

1) Gráficar las siguientes funciones:

2) Graficar la función:

3) Gráfico y análisis de la función: 

Xv = -1960/2 . (-20) = -1960/ -40 = 49 > precio >xv = b/2a

(49) = -20 . 49²  + 1960 . 49

          -48020 + 96040 = 48020 > ingreso máximo

Dominio: (0 ; 98) > raíces     Imagen: (0 ; 48020)

4) Problema en el cual se da una función con la que hay que analizar la caida de una pelotita de tenis. 

h (T) . -5t² + 10t + 1,05                 XV = 10/2 .5 = 1

h (1) . -5 . 1² + 10 . 1 + 1, 05

           -5 + 10 + 1,05 = 6,05 > altura máxima

h (0) = -5 . 0² + 10 . 0 + 1,05 = 1,05 > altura desde donde fue lanzada

Entre 0 y 1 asciende y de 1 a 2 desciende

Tiempo que demora en llega al suelo > 2,1

5) Caracteristica y análisis de la reproducción de peces en un lago

N(x) = -0,1x² + 10x + 240 > peces introducidos en el lago

Xv = -10/2 : 0,1 = -10/-0.2 = 50 > días transcurridos

-0,1 . 50² + 10 . 50 + 240 = 490 > máximo de peces en 50 días

6) Hallar las medidas del triángulo.

(2x)² + (2x+2)² = (2x+4)²

4x² + (2x+2) . (2x+2) = (2x+4) . (2x+4)

4x² + 4x² + 4x + 4x + 4 = 4x² + 8x + 8x + 16

4x² – 8x – 12

X = -b/2a = -8/2.4 = -1  > 2x = 2+5 = 6cm

7) Hallar la superficie del cuadrado

H² = c² + c²

10² . 2x²

100 : 2 = x²

50 = x² ­= √50 = x

Supeficie: √50 . √50 = 50 cm²

8) Hallar las dimensiones del rectángulo 

70 = h . b = x . (x+3cm) = 70cm²

(x .x) + (x + 3) = 70cm²

X² + 3x = 70 = ax² + 3x – 70 = X₁: 7cm

                                                 X_2: 10 cm