FUNCIONES RACIONALES

Funciones Racionales

1)

Viajes (x)	Cajas (y)
1	72
2	36
3	24
4	18
6	12
8	9
9	8
12	6
18	4
24	3
36	2
72	1

Fórmula:

X . Y = 72

      Y = 72/X

2) Fórmula de la función:

Y = 1/x

3) Función:

30 x 10 = 500 > total                Y = 300/12 = 25

FUNCIONES POLINÓMICAS

Funciones Polinómicas

• El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
• Son siempre continuas.
• No tienen asíntotas.
• Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
• Cortan el eje Y en el punto (0, a₀).
• El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
• El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

1 y 2) Gráfico y comparación de funciones

3) Gráficas de funciones

4) Función

f(x) – 10000 x⁴ – x²

10000 . 3⁴ – (-1)²

10000 . 81 – 1 = 809999

Siempre van a ser pares porque todo n° elevado a 2 es positivo. 

5) Situación problemática

F(t) = 0,5 t

6) Problema de función

F(t) = 0,5t³ – 5,7t² = 11 segundos.       0,5 . 1332 – 5,7 . 121 + 25 . 11 = 33

a) f(t = 0,5 . 2⁸ – 5,7 . 2² = 24 > en dos segundos

b) f(t) = 0,5 . (2,1³) – 5,7- (2,1²) + 25 . 2,1 = 24,05 > puede avanzar más en la misma dirección

c) f(t) = 0,5 . 6³ – 5,7 . 6² + 25 . 6 = -12 en 6 segundos

d) Volverá a pasar por el punto de partida en los puntos 6 y 10

e) Se encontrará en el lado izquierdo en el punto 6

7) Función polinómica

g(x) = x³ – 3x² – 28x + 60 > valores negativos del 2 al 6

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función Cuadrática

Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c

        

Dominio: Conjunto de valores de x que tenga la función.

Imagen: Valores de Y que toma la función.

Vértice de la parábola   v: (xv ; yv)     Xv: -b/2.a     Xy: se reemplaza la x

Termino despejado indica donde corta en el eje Y. (independiente, cuando x es 0)

Radicando: ∆ (delta) = b² – 4 . ac > discriminante

Mayor que 0: 2 raíces distintas y reales

Igual que 0: 2 raíces reales y coincidentes

Menor que 0: no hay raíces reales

1) Gráficar las siguientes funciones:

2) Graficar la función:

3) Gráfico y análisis de la función: 

Xv = -1960/2 . (-20) = -1960/ -40 = 49 > precio >xv = b/2a

(49) = -20 . 49²  + 1960 . 49

          -48020 + 96040 = 48020 > ingreso máximo

Dominio: (0 ; 98) > raíces     Imagen: (0 ; 48020)

4) Problema en el cual se da una función con la que hay que analizar la caida de una pelotita de tenis. 

h (T) . -5t² + 10t + 1,05                 XV = 10/2 .5 = 1

h (1) . -5 . 1² + 10 . 1 + 1, 05

           -5 + 10 + 1,05 = 6,05 > altura máxima

h (0) = -5 . 0² + 10 . 0 + 1,05 = 1,05 > altura desde donde fue lanzada

Entre 0 y 1 asciende y de 1 a 2 desciende

Tiempo que demora en llega al suelo > 2,1

5) Caracteristica y análisis de la reproducción de peces en un lago

N(x) = -0,1x² + 10x + 240 > peces introducidos en el lago

Xv = -10/2 : 0,1 = -10/-0.2 = 50 > días transcurridos

-0,1 . 50² + 10 . 50 + 240 = 490 > máximo de peces en 50 días

6) Hallar las medidas del triángulo.

(2x)² + (2x+2)² = (2x+4)²

4x² + (2x+2) . (2x+2) = (2x+4) . (2x+4)

4x² + 4x² + 4x + 4x + 4 = 4x² + 8x + 8x + 16

4x² – 8x – 12

X = -b/2a = -8/2.4 = -1  > 2x = 2+5 = 6cm

7) Hallar la superficie del cuadrado

H² = c² + c²

10² . 2x²

100 : 2 = x²

50 = x² ­= √50 = x

Supeficie: √50 . √50 = 50 cm²

8) Hallar las dimensiones del rectángulo 

70 = h . b = x . (x+3cm) = 70cm²

(x .x) + (x + 3) = 70cm²

X² + 3x = 70 = ax² + 3x – 70 = X₁: 7cm

                                                 X_2: 10 cm

SUCESIONES

Sucesiones

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

1) Seguir el procedimiento

A1: 1

A2: ½

A3: ¼

A4: 1/8

Representación del área del cuadrado del lado n: AN: 1/2^n-1

2) Buscar los términos generales para cada una de las sucesiones:

2, 4, 6, 8, 10 = va de 2 en 2 en n° pares – Fórmula: an = 2 . n

1, 3, 5, 7, 9 = va de 2 en 2 en n° impares – Fórmula: an = 2n-1

1, ½, 1/3, 1/4  = se le va sumando 1 al denominador – Fórmula: an = 1/n

1, 4, 9, 16, 25 = potencia de cada n° al cuadrado – Fórmula: an = n²

3) Indicar cuáles son sucesiones

An = 3n: 3x1 =3;  3x2=6;  3x3=9;  3x4=12 :  3, 6, 9, 12 es una progresión.

Bn = 5n-4: 5x1-4=1;  5x2-4=6;  5x3-4=11;  5x4-4=16:  1, 6, 11, 16 es una progresión. 

Fn=n²-1: 1²-1=0;  2²-1=3;  3²-1=8;  4²-1=15: 0, 3, 8, 15 no es una progresión.

4) Sucesión de rectángulos

2 -1     2 – 3

5 – 3     5 – 8

a)

2 – 1= 0,50

2 – 3=1,50

5 – 3=1,66

5 – 8=1,60

5) Suma de los primeros 30 múltiplos del 4

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116.

116 x 15 = 1740   todas las sumas van a dar 116.

Sumando el primer número con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, todas estas sumas van a dar 116.

Ejemplo: 0 + 116 = 116;  4 + 112= 116;  8 + 108 = 116

Es decir, la suma del menor del 0 a 60 con el mayor del  116 al 60, va a dar siempre un mismo resultado.

6) ¿Cuál es la suma de los ángulos de este triángulo si tiene una progresión aritmética?

 

 x + (x + 32) + (x + 64) = 180°

             180 – 96 : 3x

              84 : 3 = 28

7) Calcular las edades de estas personas

x + 4/5 x + 4/5 x = x + 4/5 x + 16/25 x = 122

                                          61/25 x = 122

                                        122 : 61/25 = 50

50 . 4/5 = 40

40 . 4/5 = 32

Damián: 50 años

Laura: 40 años

Francisco: 32 años

8) Intereses de un banco

Año	$	%	Total
1	1.000	100	1.100
2	2.100	210	2.310
3	3.310	331	3.641

3.641 Final del 3er año